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Moment quadratique

Voilà une notion au nom quelque peu barbare, mais en fait c'est quelque chose de très simple et très utile...

Qu'est-ce que c'est?

Le moment quadratique est une grandeur qui caractérise la géométrie d'une section et se définit par rapport à un axe ou un point. Il s'exprime dans le Système international en m4.
Le moment quadratique est utilisé en résistance des matériaux, il est indispensable pour calculer la résistance et la déformation des poutres sollicitées en torsion (IG) et en flexion (Ix et Iy). En effet, la résistance d'une section sollicitée selon un axe donné varie avec son moment quadratique selon cet axe.
Le moment quadratique est encore très souvent appelé moment d'inertie. Cependant, bien qu'il présente de claires similitudes, il ne rend compte que de la géométrie d'une section et non de sa masse.

Calcul

Avant de rentrer dans le détail, il faut retenir que pour un calcul de flexion sur une section rectangulaire, le moment quadratique est égal à la largeur multipliée par la hauteur au cube. Le moment quadratique étant directement lié à la résistance de la poutre, on comprend pourquoi une poutre sollicitée sur sa hauteur est beaucoup plus résistante que si elle est sollicitée sur sa largeur...

Sections simples

Ci-dessous un tableau résumant les formules de calcul pour quelques sections usuelles :

SectionIxIyIG / IO
Section rectangulaireb.h3 / 12h.b3 / 12b.h.(b2+h2) / 12
Non utilisé en RDM
Section circulaireπ.D4 / 64π.D4 / 64π.D4 / 32
Section annulaireπ.(D4-d4) / 64π.(D4-d4) / 64π.(D4-d4) / 32
Section hexagonale0,06014.h40,06014.h40,1154.h4
Section triangulairea.h3 / 36h.a3 / 48a4 / 46,19
Pour un triangle équilatéral

Sections complexes

Pour calculer le moment quadratique de sections complexes, telles qu'une poutre en I, on va utiliser une composition de plusieurs poutres "simples" liées selon la formule de transport de Huygens. Cette formule dit que le moment quadratique d'une section S dont le barycentre passe par un axe Δ parallèle à un axe de référence Δ′ à une distance d vaut :

IΔ′ = IΔ + S.d2

Afin de mieux comprendre, ci-dessous un exemple de calcul pour une poutre un peu plus complexe. On peut décomposer cette poutre en trois sous-ensembles (le 1 en bleu, le 2 en orange, et le 3 en vert) ayant chacun une largeur b, une hauteur h, et une distance d au barycentre de la pièce. Afin de faciliter la compréhension, on considère que h2 = h3, donc d1 = 0 (le centre de la partie bleue est aussi le centre de la pièce).

Poutre composée

Ici, on va donc calculer le moment quadratique Ix (pour la flexion) de la manière suivante :

Ix = Ix1 + S2.d22 + S3.d32

Ix = (b1.h13)/12 + (b2.h2).d22 + (b3.h3).d32

Et si on n'avait pas facilité en disant que h2 = h3? Et bien au lieu d'utiliser Ix1 on aurait utilisé S1.d1 (rappelons que toutes les distances d sont mesurées par rapport au barycentre de la pièce complète).

Si vous avez compris le principe, vous comprenez donc pourquoi les charpentes métalliques sont souvent constituées de poutres en I (IPN, IPE...) : cela permet d'avoir un grand moment quadratique (d très grand), donc une grande rigidité en flexion, tout en gagnant beaucoup de matière donc de poids.

Poutres du commerce

Comment trouver plus facilement le moment quadratique des poutres du commerce type IPN ?
Le calcul présenté ici prend du temps, et ne doit être réalisé que pour les pièces dessinées sur mesure. Pour les poutres du commerce, les valeurs sont en général inscrites dans les catalogues fournisseurs, mais vous pouvez également les trouver ici :