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Le moment d'inertie concerne uniquement les objets en rotation, et est l'équivalent de la masse pour un objet en translation. C'est à dire qu'il représente (en quelque sorte) l'énergie nécessaire à la mise en rotation ou au freinage d'un objet autour d'un axe. Plus le moment d'inertie sera élevé, plus il sera difficile de freiner ou d'entrainer l'objet en rotation à une vitesse donnée.
Le moment inertie d’un objet dépend de la répartition de sa matière (forme), de sa masse, ainsi que de la distance où se trouve la masse par rapport à l'axe de rotation.
Il est exprimé en Kg.m² dans le système SI, et est (en règle générale) représenté par la lettre J.
Attention, le moment d’inertie est souvent confondu avec le moment quadratique, très utilisé en résistance des matériaux (calculs de flexion), mais ce n'est pas la même chose : le moment quadratique tient compte uniquement de la géométrie, mais pas de la masse.
Le moment d’inertie sert, entre autres, pour le dimensionnement d’un moteur. Il permet de savoir si le moteur sera capable de contrôler l’inertie de l’objet à mettre en mouvement, s’il pourra l'entraîner et l’arrêter.
Par définition le moment d'inertie I∆, par rapport à un axe ∆, d'un point de masse m située à une distance r de ∆ est :
I∆ = m.r²
Par extension, le moment d'inertie J d'un corps autour d'un axe est :
J = Σi miri²
| Objet | Moment d'inertie | Masse | Description |
|---|---|---|---|
| Le cylindre plein | Jx = MR² / 2 Jy = (MR² / 4) + (MH² / 12) | M = ρ.π.R².H | Cylindre de rayon R et de hauteur H, avec x axe de révolution et y axe perpendiculaire à x passant par le milieu |
| Le cylindre creux | Jx = M(R² + r²) / 2 Jy = ( M(R² + r²) / 4 ) + (MH² / 12) | M = ρ.π.(R² - r²).H | Cylindre creux de rayon extérieur R, de rayon intérieur r et de hauteur H, avec x axe de révolution et y axe perpendiculaire à x passant par le milieu |
| Le parallélépipède | J∆ = M(a² + b²) / 12 | M = ρ.a.b.H | Parallélépipède de hauteur H, de grand côté a et de petit côté b, avec ∆ axe le long de sa hauteur |
| La boule | J∆ = 2/3 MR² | M = 4.ρ.π.R³ / 3 | Pour une boule homogène de rayon R et de centre O, les moments d'inertie au centre par rapport au trois axes sont égaux |
| Le cône | J∆ = (3/10) MR² | M = ρ.π.R².H / 3 | Cône plein, base de rayon R et de hauteur H, avec ∆ axe le long de sa hauteur |
Le moment d’inertie d’un objet est égal à la somme des moments d’inertie de ses masses. Imaginons une barre constituée de plusieurs cubes métalliques, le moment d’inertie de la barre est égal à la somme des moments d’inertie de chacun des cubes (passant par le même axe).
Lors de certains calculs (calcul d'un balourd par exemple), il peut être utile d'utiliser le théorème de Huyggens, qui permet de calculer le moment d'inertie par rapport à un axe ∆, parallèle à l'axe ∆G passant par le centre de gravité (et donc facile à calculer selon tableau ci-dessus).
J∆ = J∆G + m.d² (avec m masse du solide, et d distance entre ∆ et ∆G)
Rassurez vous, vous aurez très rarement besoin de calculer à la main le moment d'inertie de vos pièces! En effet, la grande majorité des logiciels de CAO peuvent le calculer pour vous... Attention cependant, pour ces calculs automatiques, il faudra être très vigilant au niveau de l'assignation de matière à vos pièces!
En effet, si vous ne mettez pas de matière, ou que vous utilisez par exemple de l'acier à la place de l'aluminium, les masses seront complètement faussées, et en conséquence les moments d'inertie aussi !
